Индивидуальный проект · Канев Захар, 10А · ЕГЭ Профиль

Создание пособия по теме сечение многогранников

Теория, методы, разобранные задачи ЕГЭ с интерактивными 3D-чертежами и задания для самостоятельной практики.

📐
Раздел 1
Теория
🔧
Раздел 2
Методы
📝
Раздел 3
Задачи с решением
✏️
Раздел 4
Практика
01

Теория

Что такое сечение многогранника?

Сечение многогранника — плоская фигура, получающаяся при пересечении многогранника плоскостью. Граница сечения — многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах многогранника.

Каждая сторона сечения лежит целиком в одной грани. Если секущая плоскость проходит через две точки одной грани, отрезок между ними принадлежит этой грани и входит в сечение.

Ключевые свойства

Многогранники и типы сечений — интерактивные 3D модели

Перетаскивайте мышью чтобы повернуть фигуры. Синий — многогранник, полупрозрачный — сечение.

Куб · шестиугольное сечение
Пирамида · сечение ∥ основанию
Призма · диагональное сечение
Тетраэдр · четырёхугольное сечение

🟦 Куб / Параллелепипед

6 граней. Сечение — от 3 до 6 сторон. Диагональное сечение куба — прямоугольник.

🔺 Пирамида

Сечение ∥ основанию — подобный многоугольник с коэффициентом k.

🔷 Призма

Сечение ∥ основаниям — равный многоугольник.

🔻 Тетраэдр

4 грани, 6 рёбер. Сечение — треугольник или четырёхугольник.

02

Методы построения сечений

1
Метод следов Основной▼
Суть: две точки на одной грани → соединяем (след). Продолжаем за куб до пересечения с продолжением ребра — находим опорную точку. Через неё и известную точку проводим след на новой грани. Повторяем, пока контур не замкнётся.
Пример: куб ABCDA₁B₁C₁D₁, сечение через M (сер. AA₁), K (сер. B₁C₁) и F (сер. AD).
Шаг 1 / 8
1Исходная фигура

Куб. Даны: M (сер. AA₁), K (сер. B₁C₁), F (сер. AD).

2M и F на грани ADD₁A₁ → след MF

Соединяем M и F — след секущей плоскости на грани ADD₁A₁.

3Продлеваем MF → P на продолжении D₁A₁, Q на продолжении DD₁

Продлеваем прямую MF. Рёбра D₁A₁ и DD₁ тоже продлеваем. На пересечении — опорные точки P и Q (за кубом).

4P и K → соединяем PK → S на ребре A₁B₁

P и K в плоскости верхней грани. Соединяем — прямая PK пересекает ребро A₁B₁ в точке S.

5Продлеваем PK → T на продолжении D₁C₁

Продолжаем прямую PK дальше. Продлеваем ребро D₁C₁. На пересечении — точка T. Теперь T и Q оба в плоскости задней грани DCC₁D₁.

6Q и T → соединяем QT → R на ребре CC₁, N на ребре CD

Прямая QT пересекает ребро CC₁ в точке R и ребро CD в точке N.

7Замыкаем: N и F на нижней грани, R и K на грани BCC₁B₁

NF на нижней грани, RK на грани BCC₁B₁. Контур замкнут: M→S→K→R→N→F→M ✓

8Итоговое сечение

Шестиугольник MSKRNF.

Когда применять: универсальный метод. Ключ — продолжить прямые и рёбра за фигуру, найти опорные точки на пересечениях.
2
Метод внутреннего проектирования Проекции▼
Суть: когда точки на верхних рёбрах нельзя связать с нижними методом следов — проецируем их вниз на основание, строим проекцию прямой, находим точку пересечения, потом возвращаемся наверх.
Пример: куб, точки K (сер. AA₁), L (сер. B₁C₁), M (сер. CD).
Шаг 1 / 12
1Исходная фигура

Куб. Даны: K (сер. AA₁), L (сер. B₁C₁), M (сер. CD).

2Соединяем KL (пунктир)

KL — прямая в пространстве. Нужна проекция, чтобы найти опорную точку.

3Проецируем K→K'=A и L→L'=сер.BC

Опускаем перпендикуляры на нижнюю грань.

4K'L' на нижней грани

Проекция KL на основание.

5KL и K'L' пересекаются → точка O за кубом

Продлеваем KL и K'L' — они сходятся в опорной точке O.

6Соединяем OM → T на ребре AD

Прямая OM пересекает ребро AD — появляется T.

7Продлеваем TM → F на продолжении BC

Продлеваем прямую TM за M. Продлеваем ребро BC. На пересечении — точка F (за кубом).

8Соединяем FL → R на ребре CC₁

F и L обе на плоскости грани BCC₁B₁. Прямая FL пересекает ребро CC₁ — точка R.

9Продлеваем FL за L → G на продолжении BB₁

Продлеваем FL за L. Продлеваем ребро BB₁. На пересечении — G (за кубом).

10Соединяем GK → S на ребре A₁B₁

G и K обе на плоскости грани ABB₁A₁. Прямая GK пересекает ребро A₁B₁ — точка S.

11Соединяем полученные точки

Соединяем все найденные точки сечения: K→T→M→R→L→S→K.

12Итоговое сечение

Шестиугольник KTMRLS.

Когда применять: точки на разных уровнях, нельзя связать напрямую. Проецируем на общую плоскость, находим O, затем по методу следов.
3
Параллельный перенос Параллельность▼
Суть: если две точки лежат на одной грани — соединяем. Затем переносим этот отрезок параллельно на параллельную грань: проводим прямую, параллельную нашему отрезку, через точку на параллельной грани — она пересекает ребро → новая точка. Повторяем для другого отрезка.
Пример: куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точки M (сер. CC₁), T (сер. A₁B₁), K (сер. AB).
Шаг 1 / 6
1Исходная фигура

Куб. Даны: M (сер. CC₁), T (сер. A₁B₁), K (сер. AB).

2Соединяем M и T

M и T на верхней/задней грани — соединяем отрезок MT.

3Соединяем T и K

T и K на грани ABB₁A₁ — соединяем отрезок TK.

4Параллельный перенос MT → через K на параллельную грань

Через K проводим прямую, параллельную MT. Она пересекает ребро DA в точке F. Получили отрезок FK ∥ MT.

5Параллельный перенос TK → через M на параллельную грань

Через M проводим прямую, параллельную TK. Она пересекает ребро DD₁ в точке F₁. Получили отрезок F₁M ∥ TK.

6Итоговое сечение

Соединяем FF₁. Четырёхугольник MTKF.

Когда применять: если метод следов применить сложно или невозможно — можно параллельно перенести прямую на параллельную грань через известную точку.
03

Задачи с разбором

Статград 2017 В тетраэдре ABCD ребро AD = 4, все остальные рёбра равны 6. а) Докажите, что AD ⊥ BC. б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей BC и перпендикулярной AD. ▼

Дано

Тетраэдр ABCD

AD = 4

AB = AC = BC = BD = CD = 6

а) Доказать: AD ⊥ BC

б) Найти: площадь сечения через BC, перпендикулярного AD

а) Доказательство AD ⊥ BC

1Пусть M — середина BC. В треугольнике ABC: AB = AC = BC = 6 — равносторонний, поэтому AM ⊥ BC.
2В треугольнике DBC: DB = DC = BC = 6 — равносторонний, поэтому DM ⊥ BC.
3BC ⊥ AM и BC ⊥ DM, и эти прямые не параллельны (лежат в плоскости ADM), значит BC ⊥ плоскости ADM, а следовательно BC ⊥ AD. ∎

б) Площадь сечения

4Плоскость содержит BC и перпендикулярна AD. Из п. а) BC ⊥ плоскости ADM, поэтому искомая плоскость — это плоскость BCH, где H — основание перпендикуляра из M на AD.
5Находим AM: медиана равностороннего треугольника со стороной 6: AM = 3√3. Аналогично DM = 3√3.
6В равнобедренном треугольнике ADM (AM = DM = 3√3, AD = 4) высота из M: MH = √(AM² − (AD/2)²) = √(27 − 4) = √23.
7Сечение — треугольник BCH, где BC = 6, высота из H равна MH = √23. Площадь: S = ½ · 6 · √23 = 3√23.
✅Ответ: S = 3√23
Базовая В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведено сечение через середины рёбер AB, CC₁ и D₁A₁. Найдите площадь сечения. ▼

Дано

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро a = 6

M — середина AB

K — середина CC₁

N — середина D₁A₁

Найти: площадь сечения через M, K, N

Решение

1Это именно та задача, которую мы разбирали в методе следов. Сечение проходит через 6 середин рёбер куба: M(сер.AB), P(сер.BC), K(сер.CC₁), Q(сер.C₁D₁), N(сер.D₁A₁), L(сер.AA₁).
2Сечение — правильный шестиугольник. Каждая его сторона — диагональ грани куба, проведённая через две середины смежных рёбер.
3Длина стороны шестиугольника: расстояние между серединами двух смежных рёбер = √(3² + 3²) = 3√2.
4Площадь правильного шестиугольника со стороной a: S = (3√3/2)·a².
5S = (3√3/2)·(3√2)² = (3√3/2)·18 = 27√3.
✅Ответ: S = 27√3
Средняя В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведено сечение через точки M (середина AA₁), N (середина BB₁) и вершину D₁. Найдите площадь сечения. ▼

Дано

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро a = 6

M — середина AA₁

N — середина BB₁

Сечение через M, N, D₁

Найти: площадь сечения

Решение

1Строим сечение методом следов. M и N лежат на грани ABB₁A₁ — соединяем их: MN — горизонтальный отрезок на середине высоты. Поскольку AM = BN = 3 (половина ребра), то MN ∥ AB и MN = AB = 6.
2D₁ и M лежат на грани ADD₁A₁ (обе точки принадлежат этой грани: M на AA₁, D₁ — вершина). Соединяем MD₁ — след на этой грани.
3D₁ и N: нужно найти след на гранях, соединяющих N и D₁. N лежит на грани ABB₁A₁ и на грани BCC₁B₁. D₁ лежит на грани DCC₁D₁ и на грани ADD₁A₁. Единственная грань, где обе точки имеют «выход» — продолжим прямую ND₁. Она пересекает ребро C₁D₁ только в вершине D₁, значит прямая ND₁ является стороной сечения (соединяет N на BB₁ с D₁ через пространство).
4Сечение — треугольник MND₁. Находим длины сторон геометрически. MN = 6. Длина MD₁: M — середина AA₁, D₁ — вершина куба. В грани ADD₁A₁ (прямоугольник 6×6): M — середина стороны AA₁, D₁ — противоположный угол. Расстояние: MD₁ = √(AD² + DD₁²) = √(6²+3²)... Нет, M не в углу. В прямоугольнике ADD₁A₁ (стороны 6 и 6): AM = 3, AD = 6. По теореме Пифагора в треугольнике AMD (прямой угол при A): MD = √(3²+6²) = √45 = 3√5. Но нам нужна MD₁: в том же прямоугольнике M=середина AA₁, D₁ — противоположный от A угол. MD₁ = √(6²+3²) = 3√5.
5Длина ND₁: N — середина BB₁, D₁ — вершина. Это диагональ пространственного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник: ND₁ — гипотенуза. Сначала B₁D₁: диагональ верхней грани = 6√2. N — середина BB₁, значит NB₁ = 3. В треугольнике NB₁D₁: прямой угол при B₁ (так как B₁D₁ лежит в горизонтальной плоскости, а NB₁ — вертикаль). ND₁ = √(NB₁² + B₁D₁²) = √(9 + 72) = √81 = 9.
6Треугольник MND₁ со сторонами MN = 6, MD₁ = 3√5, ND₁ = 9. Проверим, есть ли прямой угол. MN² + MD₁² = 36 + 45 = 81 = ND₁² — прямой угол при M! Площадь прямоугольного треугольника: S = ½ · MN · MD₁ = ½ · 6 · 3√5 = 9√5.
✅Ответ: S = 9√5
Сложная В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 6. Точка M — середина ребра SA, точка N — середина ребра SB. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через M, N и вершину C. Найдите площадь сечения. ▼

Дано

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD

Сторона основания = 4, боковое ребро = 6

M — середина SA, N — середина SB

Сечение через M, N, C

Найти: площадь сечения

Решение

1M и N — середины SA и SB. По теореме о средней линии треугольника SAB: MN ∥ AB и MN = ½ · AB = 2.
2Строим сечение. На грани SAB: обе точки M и N лежат здесь — соединяем MN. На грани SBC: N ∈ SB и C ∈ BC — соединяем NC. На грани SAC: M ∈ SA и C ∈ CA — соединяем MC. Сечение — треугольник MNC, других граней оно не пересекает.
3Находим MC. M — середина SA. Рассмотрим треугольник SAC: SA = SC = 6, AC — диагональ квадрата со стороной 4, т.е. AC = 4√2. По теореме о медиане в треугольнике SAC (медиана из C): нет, MC — медиана из M к AC? Нет. MC соединяет середину SA с вершиной C. По формуле медианы в треугольнике SAC, где M — середина SA: MC² = ½(SC² + AC²) − ¼ · SA² = ½(36 + 32) − ¼ · 36 = 34 − 9 = 25. Значит MC = 5.
4Находим NC. N — середина SB. Треугольник SBC: SB = SC = 6, BC = 4. По формуле медианы (медиана из N к SC): NC² = ½(SC² + BC²) − ¼ · SB² = ½(36 + 16) − ¼ · 36 = 26 − 9 = 17. Значит NC = √17.
5Треугольник MNC: стороны MN = 2, MC = 5, NC = √17. Опустим высоту из N на MN. Так как MN ∥ AB, а пирамида правильная, треугольник MNC симметричен? Нет. Найдём высоту h из C на MN. Из теоремы косинусов в △MNC: cos∠NMC = (MN²+MC²−NC²)/(2·MN·MC) = (4+25−17)/(2·2·5) = 12/20 = 3/5.
6Высота из C на MN: h = MC · sin∠NMC = 5 · √(1 − 9/25) = 5 · 4/5 = 4. Площадь: S = ½ · MN · h = ½ · 2 · 4 = 4.
✅Ответ: S = 4
04

Практика

ЕГЭ 2025 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, AB = 4. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. В каком отношении α делит ребро SC от вершины S, если площадь сечения равна 2√14?
SK : KC = 1 : 1

Точка O — центр основания. Сечение перпендикулярно SC и проходит через O, поэтому плоскость делит SC в точке пересечения SC с перпендикуляром из O.

Базовая В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 постройте сечение, проходящее через вершины A, C и B₁. Какая это фигура? Найдите её площадь.
S = √3

Сечение — равносторонний треугольник со стороной √2 (диагональ грани). Площадь = (√3/4)·(√2)² = √3.

ФИПИ В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Постройте сечение, проходящее через вершину A, середину ребра BB₁ и середину ребра CC₁. Найдите площадь сечения.
S = √7

Сечение — четырёхугольник (трапеция). A и два середины боковых рёбер. MN ∥ BC, MN = 2. Высота трапеции от A до MN равна √(3+4)/2. Площадь = √7.

СтатГрад В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 точка M — середина ребра AB, точка N — середина ребра B₁C₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N и D₁. Найдите площадь этого сечения.
S = 45√5/2

Методом следов: MN на грани BCC₁B₁, продлеваем → опорная точка. Через D₁ строим след на верхней грани. Сечение — пятиугольник.